เลข 2 ตัว คู่ไหนมีประโยชน์ที่สุด?

บทนำ

เคยสงสัยไหมว่า ถ้ามีตัวเลขแค่ 2 ตัว เราจะสร้างคำตอบได้กี่แบบ?

บทความนี้วิเคราะห์ทุกคู่ตัวเลขตั้งแต่ (0,1) ถึง (9,9) รวม 54 คู่ โดยใช้เครื่องหมาย:

บวก ลบ คูณ หาร ( $+, -, \times, \div$ )
ยกกำลัง ( $x^n$ )
ถอดราก ( $\sqrt{x}$ )
แฟกทอเรียล ( $n!$ )
Sigma summation ( $\sum$ )

ผลลัพธ์น่าสนใจมาก: บางคู่สร้างได้แค่ 3 ค่า แต่บางคู่สร้างได้ถึง 81 ค่า!

สารบัญ

สรุป Top 5
อันดับ 1: เลข 4 กับ 9 (81 ค่า)
อันดับ 2: เลข 3 กับ 4 (77 ค่า)
อันดับ 3: เลข 2 กับ 9 (49 ค่า)
อันดับ 4: เลข 4 กับ 5 (47 ค่า)
อันดับ 5: เลข 0 กับ 9 (45 ค่า)
ทำไมบางคู่ถึงดีกว่า?
คำถามที่พบบ่อย

สรุป Top 5

อันดับ	คู่ตัวเลข	จำนวนค่าที่สร้างได้	เคล็ดลับ
1	4, 9	81	$\sqrt{4}=2$ , $\sqrt{9}=3$ นำไปใส่แฟกทอเรียลได้
2	3, 4	77	$3!=6$ , $\sqrt{4}=2$ , $4!=24$
3	2, 9	49	2 กับ $\sqrt{9}=3$
4	4, 5	47	$\sqrt{4}=2$ , $4!=24$ , $5!=120$
5	0, 9	45	$0!=1$ กับความสามารถของ 9

สังเกตว่า เลข 4 และ 9 ปรากฏในทุกอันดับ เพราะมีตัวเลขที่สามารถถอดรากแล้วได้จำนวนจริง ( $\sqrt{4}=2$ , $\sqrt{9}=3$ )

อันดับ 1: เลข 4 กับ 9 (81 ค่า)

คู่นี้มีประโยชน์ที่สุดเพราะ $\sqrt{4} = 2$ และ $\sqrt{9} = 3$ ทำให้ได้ตัวเลขเล็ก ๆ มาใช้งานต่อ โดยเฉพาะ $3! = 6$ และ $6! = 720$

ผลลัพธ์	สมการ	ผลลัพธ์	สมการ	ผลลัพธ์	สมการ
0	$\sum_{i=2}^{3}(i-i)$	29	$\sum_{i=2}^{3}\sqrt{i}^{i!}$	220	$\sum_{i=2}^{3}(i!)^i$
1	$4 - \sqrt{9}$	30	$4! + (\sqrt{9})!$	241	$\sum_{i=2}^{3}\frac{(i!)!}{i}$
2	$(\sqrt{9})! - 4$	31	$\sum_{i=2}^{3}i^i$	264	$\sum_{i=9}^{24}i$
3	$(\sqrt{9})! \div \sqrt{4}$	33	$4! + 9$	271	$\sum_{i=4}^{9}i^2$
4	$(\sqrt{9})! - \sqrt{4}$	36	$4 \times 9$	283	$\sum_{i=3}^{4}i^i$
5	$9 - 4$	37	$\sum_{i=3}^{4}(i+i!)$	284	$\sum_{i=2}^{9}i^2$
6	$\sqrt{4 \times 9}$	39	$\sum_{i=4}^{9}i$	285	$\sum_{i=6}^{24}i$
7	$4 + \sqrt{9}$	40	$\sum_{i=2}^{6}(i+i)$	297	$\sum_{i=3}^{24}i$
8	$\sqrt{4}^{\sqrt{9}}$	44	$\sum_{i=2}^{9}i$	512	$2^9$
9	$\sqrt{9}^{\sqrt{4}}$	60	$\sum_{i=3}^{4}(i!+i!)$	528	$\sum_{i=9}^{24}(i+i)$
10	$4 + (\sqrt{9})!$	64	$4^3$	570	$\sum_{i=6}^{24}(i+i)$
11	$\sqrt{4} + 9$	72	$4! \times \sqrt{9}$	594	$\sum_{i=3}^{24}(i+i)$
12	$4 \times \sqrt{9}$	77	$\sum_{i=4}^{6}i^2$	612	$\sum_{i=3}^{4}(i! \times i!)$
13	$4 + 9$	78	$\sum_{i=4}^{9}(i+i)$	714	$\sum_{i=2}^{3}((i!)!-i!)$
14	$\sum_{i=3}^{4}(i+i)$	81	$\sqrt{9^4}$	717	$\sum_{i=2}^{3}((i!)!-i)$
15	$4! - 9$	88	$\sum_{i=2}^{9}(i+i)$	720	$\sqrt{4 \times 9}! = 6!$
16	$\sum_{i=2}^{3}(i!+i!)$	90	$\sum_{i=2}^{6}i^2$	722	$\sum_{i=2}^{3}(i!)!$
18	$\sqrt{4} \times 9$	114	$\sum_{i=3}^{4}(i \times i!)$	727	$\sum_{i=2}^{3}(i+(i!)!)$
20	$\sum_{i=2}^{6}i$	120	$(9-4)! = 5!$	730	$\sum_{i=2}^{3}(i!+(i!)!)$
21	$4! - \sqrt{9}$	121	$\sum_{i=2}^{3}\frac{(i!)!}{i!}$	733	$\sum_{i=2}^{3}i^{i!}$
22	$\sum_{i=2}^{3}(i \times i!)$	144	$4! \times (\sqrt{9})!$	744	$\sum_{i=2}^{3}(i+i)!$
23	$\sum_{i=3}^{4}(i!-i)$	150	$\sum_{i=4}^{6}\frac{i!}{i}$	1296	$(\sqrt{9})!^4$
24	$4 \times (\sqrt{9})!$	153	$\sum_{i=2}^{6}\frac{i!}{i}$	1444	$\sum_{i=2}^{3}((i!)!+(i!)!)$
25	$\sum_{i=3}^{4}i^2$	216	$4! \times 9$	1728	$\sum_{i=4}^{6}(i!+i!)$
27	$4! + \sqrt{9}$	218	$\sum_{i=2}^{3}\sqrt{i!}^{i!}$	1744	$\sum_{i=2}^{6}(i!+i!)$

อันดับ 2: เลข 3 กับ 4 (77 ค่า)

คู่นี้มีประโยชน์จาก $3! = 6$ และ $\sqrt{4} = 2$ รวมถึง $6! = 720$

ผลลัพธ์	สมการ	ผลลัพธ์	สมการ	ผลลัพธ์	สมการ
0	$\sum_{i=2}^{3}(i-i)$	31	$\sum_{i=2}^{3}i^i$	612	$\sum_{i=3}^{4}(i! \times i!)$
1	$4 - 3$	36	$\sqrt{(3!)^4}$	696	$6! - 4!$
2	$3! - 4$	37	$\sum_{i=3}^{4}(i+i!)$	714	$\sum_{i=2}^{3}((i!)!-i!)$
3	$\sqrt{3}^{\sqrt{4}}$	40	$\sum_{i=2}^{6}(i+i)$	716	$6! - 4$
4	$3! - \sqrt{4}$	60	$\sum_{i=3}^{4}(i!+i!)$	717	$\sum_{i=2}^{3}((i!)!-i)$
5	$3 + \sqrt{4}$	64	$4^3$	718	$6! - \sqrt{4}$
6	$3 \times \sqrt{4}$	72	$3 \times 4!$	720	$(3 \times \sqrt{4})! = 6!$
7	$3 + 4$	77	$\sum_{i=4}^{6}i^2$	722	$6! + \sqrt{4}$
8	$\sqrt{4^3}$	81	$3^4$	724	$6! + 4$
9	$\sqrt{3^4}$	90	$\sum_{i=2}^{6}i^2$	727	$\sum_{i=2}^{3}(i+(i!)!)$
10	$3! + 4$	114	$\sum_{i=3}^{4}(i \times i!)$	729	$\sqrt[4]{3}^{4!}$
12	$3 \times 4$	120	$(3+\sqrt{4})! = 5!$	730	$\sum_{i=2}^{3}(i!+(i!)!)$
13	$\sum_{i=2}^{3}(i+i!)$	121	$\sum_{i=2}^{3}\frac{(i!)!}{i!}$	733	$\sum_{i=2}^{3}i^{i!}$
14	$\sum_{i=3}^{4}(i+i)$	144	$3! \times 4!$	744	$6! + 4!$
15	$\sum_{i=4}^{6}i$	150	$\sum_{i=4}^{6}\frac{i!}{i}$	849	$\sum_{i=4}^{6}(i!-i)$
16	$\sum_{i=2}^{3}(i!+i!)$	153	$\sum_{i=2}^{6}\frac{i!}{i}$	852	$\sum_{i=2}^{6}(i!-i)$
18	$4! - 3!$	180	$\frac{6!}{4}$	864	$\sum_{i=4}^{6}i!$
20	$\sum_{i=2}^{6}i$	218	$\sum_{i=2}^{3}\sqrt{i!}^{i!}$	872	$\sum_{i=2}^{6}i!$
21	$4! - 3$	220	$\sum_{i=2}^{3}(i!)^i$	879	$\sum_{i=4}^{6}(i+i!)$
22	$\sum_{i=2}^{3}(i \times i!)$	241	$\sum_{i=2}^{3}\frac{(i!)!}{i}$	892	$\sum_{i=2}^{6}(i+i!)$
23	$\sum_{i=3}^{4}(i!-i)$	283	$\sum_{i=3}^{4}i^i$	1296	$(3!)^4$
24	$3! \times 4$	285	$\sum_{i=6}^{24}i$	1440	$6! \times \sqrt{4}$
25	$\sum_{i=3}^{4}i^2$	297	$\sum_{i=3}^{24}i$	1444	$\sum_{i=2}^{3}((i!)!+(i!)!)$
27	$3 + 4!$	360	$\frac{6!}{\sqrt{4}}$	1728	$\sum_{i=4}^{6}(i!+i!)$
29	$\sum_{i=2}^{3}\sqrt{i}^{i!}$	570	$\sum_{i=6}^{24}(i+i)$	1744	$\sum_{i=2}^{6}(i!+i!)$
30	$3! + 4!$	594	$\sum_{i=3}^{24}(i+i)$

อันดับ 3: เลข 2 กับ 9 (49 ค่า)

คู่นี้ใช้ $\sqrt{9} = 3$ เป็นหลัก ทำให้ได้ $3! = 6$ มาช่วย

ผลลัพธ์	สมการ	ผลลัพธ์	สมการ	ผลลัพธ์	สมการ
0	$\sum_{i=2}^{3}(i-i)$	22	$\sum_{i=2}^{3}(i \times i!)$	241	$\sum_{i=2}^{3}\frac{(i!)!}{i}$
1	$\sqrt{9} - 2$	24	$(3!-2)! = 4!$	284	$\sum_{i=2}^{9}i^2$
2	$\sqrt{3!-2}$	29	$\sum_{i=2}^{3}\sqrt{i}^{i!}$	512	$2^9$
3	$\sqrt[2]{9}$	31	$\sum_{i=2}^{3}i^i$	714	$\sum_{i=2}^{3}((i!)!-i!)$
4	$3! - 2$	36	$(3!)^2$	717	$\sum_{i=2}^{3}((i!)!-i)$
5	$2 + \sqrt{9}$	40	$\sum_{i=2}^{6}(i+i)$	720	$(2 \times \sqrt{9})! = 6!$
6	$2 \times \sqrt{9}$	44	$\sum_{i=2}^{9}i$	722	$\sum_{i=2}^{3}(i!)!$
7	$9 - 2$	64	$2^6$	727	$\sum_{i=2}^{3}(i+(i!)!)$
8	$2^3$	81	$9^2$	730	$\sum_{i=2}^{3}(i!+(i!)!)$
9	$\sqrt{9^2}$	88	$\sum_{i=2}^{9}(i+i)$	733	$\sum_{i=2}^{3}i^{i!}$
10	$\sum_{i=2}^{3}(i+i)$	90	$\sum_{i=2}^{6}i^2$	744	$\sum_{i=2}^{3}(i+i)!$
11	$2 + 9$	120	$(2+\sqrt{9})! = 5!$	852	$\sum_{i=2}^{6}(i!-i)$
12	$2 \times 3!$	121	$\sum_{i=2}^{3}\frac{(i!)!}{i!}$	872	$\sum_{i=2}^{6}i!$
13	$\sum_{i=2}^{3}(i+i!)$	153	$\sum_{i=2}^{6}\frac{i!}{i}$	892	$\sum_{i=2}^{6}(i+i!)$
16	$\sum_{i=2}^{3}(i!+i!)$	218	$\sum_{i=2}^{3}\sqrt{i!}^{i!}$	1444	$\sum_{i=2}^{3}((i!)!+(i!)!)$
18	$2 \times 9$	220	$\sum_{i=2}^{3}(i!)^i$	1744	$\sum_{i=2}^{6}(i!+i!)$
20	$\sum_{i=2}^{6}i$

อันดับ 4: เลข 4 กับ 5 (47 ค่า)

คู่นี้มี $5! = 120$ และ $4! = 24$ เป็นตัวช่วย

ผลลัพธ์	สมการ	ผลลัพธ์	สมการ	ผลลัพธ์	สมการ
0	$\sum_{i=2}^{5}(i-i)$	28	$\sum_{i=2}^{5}(i+i)$	144	$4! + 5!$
1	$5 - 4$	29	$4! + 5$	152	$\sum_{i=2}^{5}i!$
2	$\sum_{i=4}^{5}\frac{i}{i}$	30	$\frac{5!}{4}$	153	$\sum_{i=4}^{5}(i+i!)$
3	$\sqrt{4+5}$	32	$\sqrt{4^5}$	166	$\sum_{i=2}^{5}(i+i!)$
4	$\sum_{i=2}^{5}\frac{i}{i}$	33	$\sum_{i=2}^{5}\frac{i!}{i}$	240	$\sqrt{4} \times 5!$
5	$\sqrt{5}^{\sqrt{4}}$	41	$\sum_{i=4}^{5}i^2$	288	$\sum_{i=4}^{5}(i!+i!)$
6	$(5-\sqrt{4})! = 3!$	54	$\sum_{i=2}^{5}i^2$	290	$\sum_{i=5}^{24}i$
7	$\sqrt{4} + 5$	60	$\frac{5!}{\sqrt{4}}$	304	$\sum_{i=2}^{5}(i!+i!)$
9	$4 + 5$	96	$5! - 4!$	480	$4 \times 5!$
10	$\sqrt{4} \times 5$	116	$5! - 4$	580	$\sum_{i=5}^{24}(i+i)$
12	$\sqrt{4!+5!}$	118	$5! - \sqrt{4}$	625	$5^4$
14	$\sum_{i=2}^{5}i$	120	$4! \times 5$	696	$\sum_{i=4}^{5}(i \times i!)$
18	$\sum_{i=4}^{5}(i+i)$	122	$\sqrt{4} + 5!$	718	$\sum_{i=2}^{5}(i \times i!)$
19	$4! - 5$	124	$4 + 5!$	720	$((5-\sqrt{4})!)! = 6!$
20	$4 \times 5$	135	$\sum_{i=4}^{5}(i!-i)$	1024	$4^5$
25	$\sqrt{5^4}$	138	$\sum_{i=2}^{5}(i!-i)$

อันดับ 5: เลข 0 กับ 9 (45 ค่า)

คู่นี้ใช้ $0! = 1$ รวมกับความสามารถของ $\sqrt{9} = 3$

ผลลัพธ์	สมการ	ผลลัพธ์	สมการ	ผลลัพธ์	สมการ
0	$0 \times 9$	21	$\sum_{i=1}^{6}i$	242	$\sum_{i=1}^{3}\frac{(i!)!}{i}$
1	$9^0$	23	$\sum_{i=1}^{3}(i \times i!)$	285	$\sum_{i=1}^{9}i^2$
2	$\sqrt{9} - 0!$	24	$(0!+\sqrt{9})! = 4!$	714	$\sum_{i=1}^{3}((i!)!-i!)$
3	$\sqrt{0+9}$	30	$\sum_{i=1}^{3}\sqrt{i}^{i!}$	717	$\sum_{i=1}^{3}((i!)!-i)$
4	$0! + \sqrt{9}$	32	$\sum_{i=1}^{3}i^i$	720	$(0+3!)! = 6!$
5	$3! - 0!$	41	$\sum_{i=1}^{3}(i! \times i!)$	723	$\sum_{i=1}^{3}(i!)!$
6	$(0+\sqrt{9})! = 3!$	42	$\sum_{i=1}^{6}(i+i)$	729	$\sum_{i=1}^{3}(i+(i!)!)$
7	$0! + 3!$	45	$\sum_{i=1}^{9}i$	732	$\sum_{i=1}^{3}(i!+(i!)!)$
8	$9 - 0!$	90	$\sum_{i=1}^{9}(i+i)$	734	$\sum_{i=1}^{3}i^{i!}$
9	$0 + 9$	91	$\sum_{i=1}^{6}i^2$	746	$\sum_{i=1}^{3}(i+i)!$
10	$0! + 9$	120	$(3!-0!)! = 5!$	852	$\sum_{i=1}^{6}(i!-i)$
12	$\sum_{i=1}^{3}(i+i)$	122	$\sum_{i=1}^{3}\frac{(i!)!}{i!}$	873	$\sum_{i=1}^{6}i!$
14	$\sum_{i=1}^{3}i^2$	154	$\sum_{i=1}^{6}\frac{i!}{i}$	894	$\sum_{i=1}^{6}(i+i!)$
15	$\sum_{i=1}^{3}(i+i!)$	219	$\sum_{i=1}^{3}\sqrt{i!}^{i!}$	1446	$\sum_{i=1}^{3}((i!)!+(i!)!)$
18	$\sum_{i=1}^{3}(i!+i!)$	221	$\sum_{i=1}^{3}(i!)^i$	1746	$\sum_{i=1}^{6}(i!+i!)$

ทำไมบางคู่ถึงดีกว่า?

ตัวเลขที่มีประโยชน์มาก

ตัวเลข	ความสามารถพิเศษ	ค่าที่แปลงได้
4	$\sqrt{4} = 2$ (จำนวนเต็ม), $4! = 24$	2, 4, 24
9	$\sqrt{9} = 3 \to 3! = 6 \to 6! = 720$	3, 6, 9, 720
3	$3! = 6 \to 6! = 720$	3, 6, 720
5	$5! = 120$	5, 120
0	$0! = 1$	0, 1

ตัวเลขที่มีประโยชน์น้อย

ตัวเลข	ปัญหา
1	$1! = 1$ , $\sqrt{1} = 1$ (ไม่เปลี่ยนค่า)
2	$\sqrt{2}$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม
7	$\sqrt{7}$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม, $7! = 5040$ (ใหญ่เกินไป)
8	$\sqrt{8}$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม

กฎทอง

ถ้าต้องเลือกคู่ตัวเลข ให้เลือกคู่ที่มี 4 หรือ 9 เสมอ เพราะ $\sqrt{4}=2$ และ $\sqrt{9}=3$ สามารถนำไปใส่แฟกทอเรียลเพื่อสร้างเลขอื่นต่อได้

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

ทำไม 4 กับ 9 ถึงดีที่สุด?

เพราะทั้งคู่มี ตัวเลขที่สามารถถอดรากแล้วได้จำนวนจริง:

$\sqrt{4} = 2$ → สามารถใช้เป็นเลขชี้กำลังหรือ ขอบเขตการบวก (bound) ในซิกมา
$\sqrt{9} = 3$ → นำไปใส่แฟกทอเรียลได้ ( $3! = 6$ , $6! = 720$ )

การที่ได้เลข 2 และ 3 มาใช้ ทำให้สร้างค่าในช่วง 1-10 ได้ครบ และยังต่อยอดไปค่าใหญ่ ๆ ได้อีก

ซิกมา ( $\sum$ ) คืออะไร?

ซิกมา หรือ ผลรวม (Summation) คือการบวกเลขตั้งแต่ค่าเริ่มต้นถึงค่าสิ้นสุด

ตัวอย่าง:

$\sum_{i=1}^{4}i = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$
$\sum_{i=2}^{3}i^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$
$\sum_{i=2}^{3}i! = 2! + 3! = 2 + 6 = 8$

สามารถศึกษาเกี่ยวซิกมาเพิ่มเติมได้ที่ ซิกมา คืออะไร?

แฟกทอเรียล (Factorial) คืออะไร?

แฟกทอเรียล (เครื่องหมาย $!$ ) คือการคูณเลขตั้งแต่ 1 ถึงตัวเลขนั้น

ตัวอย่าง:

$3! = 1 \times 2 \times 3 = 6$
$4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$
$5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$
$6! = 720$

กรณีพิเศษ: $0! = 1$ (ตามนิยามทางคณิตศาสตร์)

สามารถศึกษาเกี่ยวซิกมาเพิ่มเติมได้ที่ แฟกทอเรียล คืออะไร?

คู่ไหนแย่ที่สุด?

คู่ที่สร้างค่าได้น้อยที่สุดคือ:

(0, 1) และ (1, 1) - สร้างได้แค่ 3 ค่า

นำข้อมูลนี้ไปใช้ยังไง?

เมื่อเจอโจทย์คณิตศาสตร์ที่ต้องใช้ตัวเลข 2 ตัวสร้างคำตอบ:

ดูว่ามีเลข 4 หรือ 9 ไหม → ลองใช้ $\sqrt{4}=2$ หรือ $\sqrt{9}=3$
ดูว่ามีเลข 3 หรือ 5 ไหม → ลองใช้แฟกทอเรียล ( $3!=6$ , $5!=120$ )
ถ้า target อยู่ใกล้ 720 → หาทางสร้าง 6 แล้วทำ $6!$

อย่าลืมติดตามพวกเราใน Facebook!