Photo by Bozhin Karaivanov on Unsplash

ซิกมา คืออะไร?

ผลรวม (Summation) หรือที่หลาย ๆ คนชอบเรียกว่า “ซิกมา (∑\sum)” มันคืออะไรกันนะ? วันนี้ เราจะมาทำความเข้าใจตั้งแต่พื้นฐาน ว่าซิกมาคืออะไร ส่วนประกอบของการเขียนซิกมามีอะไรบ้าง รวมถึงสูตรของซิกมาที่ควรรู้อีกด้วย ถ้าพร้อมแล้วก็ไปดูกันเลย!

ในทางคณิตศาสตร์ เราสามารถเขียนแทนผลรวมของชุดตัวเลข (Summation) ได้โดยการใช้สัญลักษณ์ ∑\sum เรียกว่า ซิกมา (Sigma) เพื่อลดรูปการบวกกันของตัวเลข

ตัวอย่างเช่น การบวกกันของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 5

1+2+3+4+5=151+2+3+4+5=15

สามารถเขียนได้ในอีกรูปแบบโดยใช้ สัญลักษณ์ ∑\sum พร้อมกับเลข 1 และเลข 5 ดังนี้

∑i=15(i)=15\sum_{i=1}^5\left(i\right)=15

ส่วนประกอบของสัญลักษณ์ซิกมา

ในซิกมานั้น จะมีส่วนประกอบหลักอยู่ 3 อย่าง

∑i=mn(xi)\sum_{\colorbox{#fee2e2}{$i=m$}}^{\colorbox{#fef9c3}{$n$}}\colorbox{#dcfce7}{$\left(x_i\right)$}
  1. ขอบเขตล่าง (i=m\colorbox{#fee2e2}{$i=m$}) เป็นตัวบอกว่าเราจะเริ่มทำการบวกจากค่าไหน โดยเราจะเขียนในลักษณะของ “ตัวแปร = ค่าเริ่มต้น” โดยตัวแปรจะเป็นตัวบ่งบอกว่าเราจะแทนค่าตัวเลขลงในตัวแปรนั้น ๆ ในฟังก์ชันผลรวม โดยทั่วไปมักจะใช้ตัว ii แต่จะใช้ตัวหนังสืออะไรก็ได้
  2. ขอบเขตบน (n\colorbox{#fef9c3}{$n$}) เป็นตัวบอกว่าเราจะทำการบวกถึงค่าไหน
  3. ฟังก์ชันผลรวม (xi\colorbox{#dcfce7}{$x_i$}) เป็นฟังก์ชันที่เขียนในรูปแบบของตัวแปรที่เรากำหนด ว่าในแต่ละครั้งที่เราบวก เราจะทำอะไรกับค่านั้นบ้าง เช่น หากตัวแปรของเราคือ ii ฟังก์ชันในรูปแบบของตัวแปร ii ก็คือ f(i)f(i) นั่นเอง

ตัวอย่างซิกมาและวิธีการหาคำตอบเพิ่มเติม

∑i=13(2i)=2(1)+2(2)+2(3)=2+4+6=12∑n=35(n3)=33+43+53=123=4∑i=∑j=13(j)9(i+2)=∑i=1+2+39(i+2)=∑i=69(i+2)=(6+2)+(7+2)+(8+2)+(9+2)=8+9+10+11=38\begin{aligned} \sum_{i=1}^3\left(2i\right)&=2(1)+2(2)+2(3) \\ &=2+4+6=12\\ \\ \sum_{n=3}^5\left(\frac{n}{3}\right)&=\frac{3}{3}+\frac{4}{3}+\frac{5}{3} \\ &=\frac{12}{3}=4\\ \\ \sum_{i=\sum_{j=1}^3\left(j\right)}^9\left(i+2\right)&=\sum_{i=1+2+3}^9\left(i+2\right) \\ &=\sum_{i=6}^9\left(i+2\right) \\ &=(6+2)+(7+2)+(8+2)+(9+2) \\ &=8+9+10+11=38 \end{aligned}

สมบัติของซิกมา

กำหนดให้ mm, nn เป็นจำนวนเต็มบวกที่ m<nm<n และ cc เป็นจำนวนจริงใด ๆ

∑i=mn(xi+yi)=∑i=mn(xi)+∑i=mn(yi)∑i=mn(xi−yi)=∑i=mn(xi)−∑i=mn(yi)∑i=mn(xic)=c⋅∑i=mn(xi)\begin{aligned} \sum_{i=m}^n\left(x_i+y_i\right)&=\sum_{i=m}^n\left(x_i\right)+\sum_{i=m}^n\left(y_i\right)\\ \\ \sum_{i=m}^n\left(x_i-y_i\right)&=\sum_{i=m}^n\left(x_i\right)-\sum_{i=m}^n\left(y_i\right)\\ \\ \sum_{i=m}^n\left(x_ic\right)&=c\cdot\sum_{i=m}^n\left(x_i\right)\\ \end{aligned}

สูตรต่าง ๆ ที่ต้องรู้!

1. บวกตั้งแต่ 1 ถึง n

หากเราต้องการบวกจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n จะมีสูตรคือ

∑i=1n(i)=n(n+1)2\sum_{i=1}^n\left(i\right)=\frac{n\left(n+1\right)}{2}

ตัวอย่างเช่น

∑i=13(i)=1+2+3=3(3+1)2=6\sum_{i=1}^{3}\left(i\right)=1+2+3=\frac{3\left(3+1\right)}{2}=6
∑i=110(i)=1+2+…+9+10=10(10+1)2=55\sum_{i=1}^{10}\left(i\right)=1+2+\ldots+9+10=\frac{10\left(10+1\right)}{2}=55

2. บวกค่าคงที่

หากเรานำตัวเลขหรือค่าคงที่ใด ๆ มาบวกกัน n ครั้ง ก็จะเสมือนการคูณนั่นเอง

∑i=1n(c)=nc\sum_{i=1}^n\left(c\right)=nc

ตัวอย่างเช่น

∑i=15(4)=4+4+4+4+4=5×4=20\sum_{i=1}^5\left(4\right)=4+4+4+4+4=5\times4=20
∑i=13(−1)=(−1)+(−1)+(−1)=3×(−1)=−3\sum_{i=1}^3\left(-1\right)=(-1)+(-1)+(-1)=3\times(-1)=-3

3. ผลต่างบวก 1

นอกจากผลบวกแล้ว เรายังสามารถใช้ซิกมาในการหาผลต่าง (ผลลบ) ได้อีกด้วย ถึงแม้ว่าจะไม่ได้ค่าผลต่างจริง ๆ แต่วิธีนี้ก็สามารถใช้ในคิดเลขเร็วเพื่อสร้างจำนวนใหม่ ๆ ได้อีกด้วย

∑i=mn(ii)=n−m+1; m<n\sum_{i=m}^n\left(\frac{i}{i}\right)=n-m+1;\ m<n

ตัวอย่าง

∑i=36(ii)=6−3+1=4\sum_{i=3}^6\left(\frac{i}{i}\right)=6-3+1=4
∑i=5+64!+3(ii)=27−11+1=17\sum_{i=5+6}^{4!+3}\left(\frac{i}{i}\right)=27-11+1=17

หากดูเผิน ๆ แล้ว เครื่องหมายซิกมานั้นอาจจะเป็นอะไรที่ดูเข้าใจยาก แต่ถ้าเราเข้าใจมันแล้ว เราก็จะพบว่ามันมีประโยชน์มากมาย ทางทีมงานหวังว่าวันนี้ทุก ๆ คนจะเข้าใจมากขึ้นว่าเครื่องหมายซิกมานั้นคืออะไร และสามารถนำไปใช้ในการเรียนหนังสือ ในการทำความเข้าใจสมการต่าง ๆ ที่อาจจะพบได้ในหนังสือเรียน หรือนำไปใช้ในการสร้างตัวเลขใหม่ ๆ อีกหลายร้อยรูปแบบในเกมคิดเลขเร็วอีกด้วย

ถ้าไม่อยากพลาดบทความดี ๆ แบบนี้ล่ะก็ อย่าลืมติดตามพวกเราใน Facebook สำหรับบทความใหม่ ๆ ด้วยล่ะ!

แชร์:
  • share to facebook
  • share to x (former twitter)

บทความอื่น ๆ

บทความทั้งหมด